無限級数についての補足

について

等比数列の和の公式から、第ｎ項までの和をＳnとすると、

ここで、０＜ｒ＜１ならば、この和は収束し、

について

とおき、両辺にｒをかけると、

今出来た２つの和を、下の和の部分を１つずつずらして辺々をひくと、

ここで、最後の部分（−nrn）を除けば、これは等比級数で、
０＜ｒ＜１ならば、この和は収束し、

したがって、

反復試行で初めてＡが起こるまでの回数の期待値

１回の試行において、事象Ａの起こる確率がｐであるとします。
ｎ回目で初めてＡが起こる確率は（１−ｐ）n-1×ｐです。
よって、ｎの期待値は、
ｐΣ(from n=1 to ∞)ｎ（１−ｐ）n-1＝ｐ（１／（１−１＋ｐ））2＝1／ｐ
つまり、さいころを投げて初めて１が出るまでの回数の期待値が６であることも、このようにして計算できます。
（深く考えなければ当たり前のことかもしれませんが、一応証明してみました）