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例題 1 赤玉 3 個，緑玉 2 個，青玉 3 個を 1 列に並べる方法は何通りあるか。
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考え方 1
まず，右図のように，8 個の白玉を並べておきます。
このうち，3 個を赤玉に取り換える方法は，8C3 通り
残った(5 個の)白球のうち，2 個を緑玉に取り換える方法は，5C2 通り
最後の青玉を取り換える場所は，自動的に定まる。
以上より，8C3 × 5C2 = 560 (通り)
考え方 2
8 個の玉すべてに区別がついたとすると，その並べ方は 8! 通り
ここで，赤，緑，青の各色について，それぞれ 3!，2!，3! 通りずつに区別がつかなくなるから，
| 8! | = | 8・7・6・5・4・3・2・1 | = | 8・7・6・5・4 | = 560 (通り)
| | 3!2!3! | 3・2・1・2・1・3・2・1 | 3・2・1・2・1
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| 8C3 × 5C2 =
| 8・7・6・5・4 | となり，どちらの考え方も正しいことが分かります。
| | 3・2・1・2・1
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| 例題 2
| (1) KYOTO の 5 文字を並び替えた文字列は何個あるか。
(2) KAWASAKI の 8 文字を並び替えた文字列は何個あるか。
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このようなテーマがなくても，飛びついてしまう前に冷静に文字を見渡しましょう。
どちらにも，同じ文字が含まれているので，考え方 2 で解くことにします。
| (1) 5 文字あるうち，O が 2 つ含まれるから， | 5! | = 60 (個)
| | 2!
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| (2) 8 文字あるうち，K が 2 つ，A が 3 つ含まれるから，
| 8! | = 3360 (個)
| | 2!3!
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例題 3 0，0，1，2，2，3，3 の数字すべてを使ってできる 7 桁の整数は何個あるか。
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0 入り順列の応用です。1 だけ，1 個しかありません。
条件があるのは最高位だけなので，最高位に使われる数によって場合分けします。
| [A] | 最高位が 1 のとき
| 残った 6 桁で使える数はそれぞれ 2 個ずつあるから，
| 6! | = 90 (個)
| | 2!2!2!
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| | [B] | 最高位が 2 または 3 のとき
最高位の選び方は 2 通りあり，どちらの場合も 0 が 2 個
最高位で使わなかった数が 2 個残る。
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以上[A]，[B] より，90 + 360 = 450 (個)
例題 4 [2010年 弘前大学] G，O，U，K，A，K，U の 7 文字を 1 列に並べるとき，
同じ文字が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。
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「隣り合わない」は条件のないものを先に並べる，というお約束に従います。
条件のない G，O，A の並べ方は 3! 通り
例えば △G△O△A△ として，この△のうちの 2 つを U に取り換える方法は，4C2 通り
さらに，例えば □U□G□O□U□A□ として，この□のうちの 2 つを K に取り換える方法は，6C2 通り
以上より，このときの並べ方は，3! × 4C2 × 6C2 = 540 (通り)
ただし，以上の方法では U の間に G，O，A が少なくとも 1 つ入るため，「UKU」と続くものは含まれていない。
ここで，G，0，A，K，[UKU] の並べ方は，5! = 120 通りある。
以上より，全部で 540 + 120 = 660 (個)
難問であればあるほど，今までの経験値を生かすことが重要になってきます。
良い研究者は地道に努力と経験を重ねて新しいことを発見（発明）します。
そういう学生が欲しいのだというメッセージを感じた問題でした。
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