0(ゼロ)を含む数の順列について

例題 1　0，1，2，3，4 の数字を重複を許して使ってできる 4 桁の整数は何個あるか。

「重複を許して」とは，「同じ数字を何度用いても良い（重複順列）」と同じです。
このときは最高位（1 個少ない 4 個）だけに気をつかえば良く、残りの 3 桁は 5 個ずつ自由に選べます。
よって，4×5³ = 500 (個)

例題 2　0，1，2，3，4 の数字を 1 回ずつできる使ってできる 5 桁の整数は何個あるか。

1 回しか使えない（ 2 度以上使ってはならない）場合は，残りの個数を考慮する癖をつけましょう。
最高位は 0 以外の 4 つの数字が使えるので，4 通り (残り 4 個)
残りの 4 桁は自由に並べてよいから，4!
以上より，4 × 4! = 96 (個)

例題 3　0，1，2，3，4 の数字を使ってできる 3 桁の整数は何個あるか。 ただし，同じ数字は 2 度以上使ってはならない。

例題 2 に対して桁数と「言い方(表現)」が変わっただけだと分かれば何も問題ありません。
最高位は 0 以外の 4 つの数字が使えるので，4 通り (残り 4 個)
残りの 2 桁は 4 つの数から 2 つを選んで並べるから，₄P₂ 通り(数字を使い切らないときは P )
以上より，4×₄P₂ = 4×4×3 = 48 (個)

例題 4　0，1，2，3，4，5 の数字を使ってできる 4 桁の奇数は何個あるか。 ただし，同じ数字を 2 度以上使ってはならないものとする。

本当の試験問題なら、このような親切なアンダーラインなどありません。
重複を許すかだけでなく、このような小さな変化に気づく読解力（冷静さ）も必要です。
今回の条件は…

○　最高位に 0 を用いてはならない
○　一の位に使える数字は 1，3，5 である

条件が複数あるときは，格言 3 に従い，条件の厳しい一の位から定めます。
一の位の選び方は，1，3，5 の 3 通り　(残り 5 個)
最高位には 0 を選べないから，4 通り　(残り 4 個)
残りの 2 桁は，残った 4 個の数字から 2 個選んで並べるから，₄P₂ 通り
以上より，求める場合の数は，3・4・4・3 = 144　(個)

例題 5　0，1，2，3，4，5 の数字を使ってできる 4 桁の偶数は何個あるか。 ただし，同じ数字を 2 度以上使ってはならないものとする。

今回の条件は…

○　最高位に 0 を用いてはならない
○　一の位に使える数字は 0，2，4，6 である

今度は一の位が 0 かどうかで状況が変わってしまいます。条件が複雑なときは，冷静に場合分けし，
格言 4 にしたがって，最後に加えます。

[A]　一の位が 0 のとき (0 を使ってしまったので，残りは普通の順列になります)

残りの 3 桁は 残った 6 個の数字から 3 個を選んで並べればよいから，
₆P₃ = 6・5・4 = 120　(個)

[B]　一の位が 0 でないとき

一の位は，2，4 の 2 通り (残りは 5 個あるが，この中には 0 を含んでいる)
最高位は，0 以外の 4 通り (残り 4 個)
残りの 2 桁については，残った 4 個から 2 個を選んで並べればよいから，₄P₂ 通り
以上より，3・5・5・4 = 300　(個)

[A]，[B] は同時に起きないから，120+300 = 420　(個)

例題 6　0，1，2，3，4 の数字を重複を許して使ってできる， 4 桁以下の自然数は何個あるか。

真面目に場合分けすると…
[A]　1 桁の自然数は，4 個
[B]　2 桁の自然数は，4×5 = 20　(個)
[C]　3 桁の自然数は，4×5² = 100　(個)
[D]　4 桁の自然数は，4×5³ = 500　(個)
以上より，4+20+100+500 = 624　(個)

別解：例えば，0024 は 24 を表すと考えると，
最高位にも 0 を許して，5 つの数を繰り返し 4 回選ぶ方法は，5⁴ = 625 通り
このうち，0000 = 0 は自然数でないので，除かれる。
よって，625-1 = 624 (個)

[A]〜[D] を眺めていて，初項 4，公比 5 ，項数 4 の等比数列の和であると気づくほうが大切かもしれませんね…