玉を袋から取り出す

表題どおりですが，問題文をよく読むことに加え，格言 7 と時制の一致に注意しましょう。

例題 1 　赤玉 4 個，青玉 3 個，白玉が 2 個が 1 つの袋に入っている。
この中から 3 個の玉を同時に取り出すとき，次のものを求めよ。
(1) 3個とも赤玉となる確率
(2) 3個とも色が異なる確率
(3) 3個とも同じ色となる確率
(4) 赤玉がちょうど２個となる確率
(5) 赤玉が２個以上となる確率

　全事象は 9 個から 3 個を「同時に」取るので，₉C₃ = 3・4・7 = 84 通りあり，これらは同様に確からしい。

(1) 赤玉 4 個には区別をつけるので，4 個のうちから 3 個選びます。よって，求める確率は

₄C₃ = 1
3・4・7 21

確率計算は約分できることが多いため，掛け算はできるだけ後回しにして，
（84 = 3・4・7 と，選択肢を残しておいて）先に約分してしまう工夫もしましょう。

(2) 　「各色から 1 個ずつとる」事象であるから，この選び方は，₄C₁ × ₃C₁ × ₂C₁ 通り
以上より，求める確率は，

4・3・2 = 2
3・4・7 7

M さんからの質問
4 × 3 × 2 = 1 と考えました。
9 8 7 21

時制の一致を無視してしまった誤答です。
この解答を問題文に直すと，
「1 個ずつ，元に戻さずに 3 個とるとき，赤，青，緑の順に取り出される確率」となります。
「青，緑，赤」などの順番で取り出されても問題の条件を満たすわけですから，
全事象を 9・8・7 として考えたい場合，考察する事象には「取り出される順番」を考慮に入れなくてはいけません。

4・3・2 × 3! = 2
9・8・7 7

このように，1 個ずつ分けて取り出して考えても，時制の一致に気をつければ正しくなりますが，推奨できる解法とはいえません…

(3) 　[A]　全赤玉であるとき，(1) より 4 通り
　[B]　全て青色であるとき，₃C₃ = 1 （通り）
事象 [A]，[B] は互いに排反であるから，求める確率は，

4 + 1 = 5

3・4・7 84

(4) これは，赤玉のことしか書かれていないことで，
₄C₂ と誤ってしまうことの多い引っかけ問題の典型です。
₉C₃
残り 1 個は他の色であり，それは（青・白の） 5 個あるから，求める確率は，

₄C₂×₅C₁ = 6・5 = 5

₉C₃ 3・4・7 14

(5) 　[C]　赤玉がちょうど 2 個であるとき，(4)より 30 通り
　[D]　全て赤玉であるとき，(1) 通りより 4 通り
事象 [C]，[D] は互いに排反であるから，求める確率は，
30 + 4 = 17

3・4・7 42

I さんからの質問
4 個ある赤を先に 2 個とれば，3 個目は何をとっても良いから，
分子を₄C₂×₇C₁と考えました。
（2）の M さん同様，全事象は 3 個同時にとっているのに，
この考えでは分子の 3 個目だけ，時間が異なっています。
これは，「3 個とも赤」である事象を何度も重複して数えてしまっています。

例題 2 　赤，青，黄，緑の玉がそれぞれ 4 個ずつ，合計 16 個が箱の中に入っている。
この箱の中から 4 個の玉を取り出すとき，ちょうど 3 種類の色が現れる確率を求めよ。

アヤノさんから頂いた題材です。ありがとうございます。
格言 2 と 3 のとおり，同時に起こる事象を丁寧に分けましょう。

全事象は ₁₆C₄ = 4・5・7・13 通りあり，それらは同様に確からしい。
まず，色の選び方は，₄C₃ = 4 （通り）
選ばれた 3 色のうち 1 色は，2 個取り出される。この色の決め方は 3 通り
各色について，玉の取り出し方は，₄C₁×₄C₁×₄C₂ 通り
以上より，求める確率は，

4・3・4・4・6 = 288

4・5・7・13 455

例題 3 　箱の中に，a，b，c，d，e の文字が 1 つずつ書かれたカードが，2 枚ずつ合計 10 枚ある。
この中から 4 枚のカードを同時に取り，カードに書かれた異なる文字の個数を X とする。
例えば，a，a，b，c のカードを取り出したときは X = 3 である。
(1)　X = 2 となる確率を求めよ。
(2)　X = 3 となる確率を求めよ。
(3)　X の期待値を求めよ。

この問題はちひろんさんより頂きました。ありがとうございます。
考え方は例題 2 と同じです。
全事象は ₁₀C₄=10・3・7 通りあり，これらは全て同様に確からしい。

(1) 　X=2 となるとき
2 種類の文字を 2つずつとる事象であるから，文字の選び方だけ考えればよい。
文字の選び方は ₅C₂ 通りあるから，求める確率は，
₅C₂ = 1

10・3・7 21

(2) 　1 文字が 2 個，その他の文字が 1 個ずつ選ばれる事象である。
2 枚使う数字の選び方は ₅C₁ 通り
1 枚ずつ使う数字の選び方は ₄C₂ 通り
さらに，1 枚ずつ使う文字の取り出し方は，それぞれ 2 通りずつある。
以上より，求める確率は，

5・6・2² = 4

10・3・7 7

(3) 　X = 1 となることはないので，(1)，(2) に加えて X = 4 のときを考える。
X = 4 となるとき，文字の選び方は ₅C₄通り
各々の文字について，2 通りずつの選び方があるから，
X = 4 となる事象は 5×2⁴=80　（通り）
以上より，求める期待値は，

2・10 + 3・120 + 4・80 = 700 = 10

210 210 3
便利な「裏技公式」があるかは，保留ということで…
取り出し確率の応用の 1 つが，ポーカーの役ができる確率です。
練習問題
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